Kurt Nielsen var den første danske tennisspiller, der præsterede de helt store internationale resultater: I 1953 og 1955 nåede Kurt Nielsen som useedet herresinglefinalen i tennissportens mest traditionsrige turnering, Wimbledon. Blandt hans mest berømte skalpe i Wimbledon er sejrene på vejen mod finalerne over tennislegenden Ken Rosewall.
Kurt Nielsen var også en glimrende doublespiller. Det blev til flere mesterskaber i forskellige lande. I 1958 tabte han Wimbledonfinalen i mixeddouble sammen med Althea Gibson. Året forinden havde han med samme spiller, i US Open, sikret sig karrierens eneste grand slam titel.
Kurt Nielsens første internationale titel som senior var i 1948, hvor han sammen med svenskeren Börje Fornstedt vandt de franske indendørsmesterskaber i double.
Året efter vandt han for første gang de skandinaviske mesterskaber ved at slå de navnkundige amerikanere Frank Parker og Budge Patty på vejen mod mesterskabet.
Kurt Nielsen, der var bedst på hurtige baner såsom græs og trægulv, havde som forcer en kanonserv, som ofte blev fulgt op med et glimrende netspil. Han var tillige utrolig fysisk stærk. Han var i en lang periode Davis Cup-holdets ankermand.
I alt blev det til 49 danske mesterskaber fordelt mellem 16 singletitler, 16 i herredouble og 17 i mixeddouble.
Fra 1960-63 var han professionel i Jack Kramers omrejsende tennisshow, der tog rundt og spillede turneringer over hele verden. Herefter var det slut med den aktive tennis på topniveau. Efterfølgende var han landstræner i Danmark, Vesttyskland og Spanien, som han førte til Davis Cup finalen i 1965. Han blev senere supervisor, referee og kommentator ved tennisturneringerne rundt omkring, ligesom han i 1970’erne sad i DTF’s bestyrelse.
Familien Nielsen har fire generationer på stribe leveret idrætsfolk til et af DIF’s specialforbunds seniorlandshold: Kurt Nielsens fader, Vilhelm Nielsen, fik en enkelt fodboldlandskamp i 1925. Kurt Nielsens søn, Christian Kurt Nielsen, optrådte også på det danske Davis Cup-hold, hvilket også er tilfældet med barnebarnet Frederik Løchte Nielsen.
Kurt Nielsen blev optaget i Hall of Fame ved etableringen i 1992.